Introducción

En esta sección abordaremos los conceptos fundamentales para el análisis de datos de supervivencia, comenzando con funciones de probabilidad clásicas y avanzando hacia funciones específicas como la función de supervivencia y la función de riesgo.

Objetivos

• Recordar las funciones de densidad y distribución acumulada.
• Introducir la función de supervivencia \(S(t)\) y la función de riesgo \(h(t)\).
• Interpretar estas funciones desde una perspectiva probabilística.
• Visualizar ejemplos aplicados y comparativos con distintas distribuciones.

Funciones fundamentales

Antes de introducir las funciones de supervivencia y riesgo, recordemos dos funciones clave en probabilidad y estadística:

• Función de densidad: \(f(t)\)
• Función de distribución acumulada: \(F(t) = P(T \leq t)\)

Función de densidad \(f(t)\)

• Describe la distribución de probabilidad de una variable continua \(T\)

• No es una probabilidad en sí, pero su integral sí lo es:

  \[ P(a < T \leq b) = \int_a^b f(t) \, dt \]

• Debe cumplir:

  \[ f(t) \geq 0 \quad \text{y} \quad \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \, dt = 1 \]

Función de distribución acumulada \(F(t)\)

• Es la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor o igual que \(t\):

  \[ F(t) = \int_{-\infty}^t f(u) \, du = P(T \leq t) \]

• Propiedades:

  • \(F(t)\) es monótona creciente
  • \(\lim_{t \to -\infty} F(t) = 0\)
  • \(\lim_{t \to \infty} F(t) = 1\)

Ejemplo: función de supervivencia para distribución exponencial

Sea \(T \sim \text{Exp}(\lambda = 0.5)\), es decir:

\[ f(t) = \lambda e^{-\lambda t}, \quad F(t)=1-e^{-\lambda t}, \quad S(t) = e^{-\lambda t} \]

Ejemplos de formas de riesgo

Ejemplo: función de riesgo para distribuciones comunes

\[ h(t) = \frac{f(t)}{S(t)} \]

Para la distribución exponencial con \(\lambda = 0.5\), \(h(t) = \lambda\), constante.

Comparémosla con la distribución Weibull, donde el riesgo puede aumentar o disminuir con el tiempo.

Otra forma de visualización

Ejemplos de riesgo discreto

Riesgo acumulado continuo

\[ H(t) = \int_0^t h(u)\, du \qquad\Rightarrow\qquad S(t) = \exp\{-H(t)\} \]

Si \(S(\infty) = 0\), entonces \(H(\infty) = \infty\).

Visualización de Funciones en R

Las funciones Surv() y survfit() del paquete survival permiten ajustar y visualizar curvas de Kaplan-Meier de manera eficiente en R, ver Moore (2016) y Therneau & Grambsch (2000).

# Ejemplo simulado de tiempos de supervivencia
set.seed(123)
tiempos <- rexp(10, rate = 0.05)
status <- rbinom(10, 1, prob = 0.8)
data_sim <- data.frame(time = tiempos, event = status)
# Estimación Kaplan-Meier
km_fit <- survfit(Surv(time, event) ~ 1, data = data_sim)

plot(km_fit, 
     xlab = "Tiempo", 
     ylab = "Supervivencia", 
     main = "Curva Kaplan-Meier")